This manuscript presents an English translation of the work titled “Begründung Einer Strengen Implikation” by the German logician and mathematician Wilhelm Ackermann (1896-1962), first published in June 1956.

Die vorliegenden Untersuchungen haben sich aus solchen entwickelt, die ich an andrer Stelle früher veröffentlichte. Die Kenntnis dieser früheren Arbeit wird in keiner Weise hier vorausgesetzt und ist für das folgende unwesentlich. Es sei mir jedoch gestattet, für den Kenner der früheren Arbeit einige Bemerkungen voraufzuschicken. In der genannten Arbeit hatte ich, angeregt ursprünglich durch Gedankengänge von Herrn Behmann, ein typenfreies System der Logik aufgebaut, das allein auf dem Gedanken fußte, daß der Definitionsbereich der Prädikate im allgemeinen beschränkt ist, sodaß (...) nur bestimmte Zusammenstellungen von Prädikaten und Dingen sinnvolle, d.h. wahre oder falsche Aussagen ergeben, und das diesen Gesichtspunkt meiner Meinung nach konsequent durchführte. Eine anschließende Arbeit sollte dann die Widerspruchsfreiheit des Systems untersuchen. Diese Untersuchung ist inzwischen geschehen. Es zeigte sich, daß sich die Widerspruchsfreiheit des Systems nur dann beweisen ließ, falls die in ihm enthaltene Vollständigkeit von → die sich durch das Bestehen eines Deduktionstheorems zeigte, fallen gelassen wurde. Die Grundformeln (13) und (14) mußten wegbleiben. Die Widerspruchsfreiheit des restlichen Systems ließ sich dann durch eine dem System eigentümliche Methode der Beweistransformation zeigen.Diese anschließienden Untersuchungen, die ihrer Zeit nicht mehr veröffentlicht werden konnten, sind inzwischen durch die vorliegenden überholt. Es war das Unbefriedigende bei dem genannten Aufbau, daß hinterher doch wieder eine Einschränkung gemacht werden mußte, die sich nicht aus den zugrunde gelegten Prinzipien ergab, sondern von ihnen aus unvorhergesehen war. Diese Einschränkung bewirkte übrigens, daß keine volle Zahlentheorie in dem System zu gewinnen war. (shrink)