ABSTRACT: It is argued that the equivalence, which is usually postulated to hold between infinite descent and transfinite induction in the foundations of arithmetic uses the law of excluded middle through the use of a double negation on the infinite set of natural numbers and therefore cannot be admitted in intuitionistic logic and mathematics, and a fortiori in more radical constructivist foundational schemes. Moreover it is shown that the infinite descent used in Dedekind-Peano arithmetic does not correspond to the infinite (...) descent of classical Fermatian arithmetic or number theory. However, from the point of view of classical logic, the principles of complete induction and transfinite induction, the least number principle and infinite descent are all equivalent. We find here a focal point for a foundational critique that aims for a a clarification of philosophical options in the foundations of logic and mathematics. (shrink)

Le texte est consacré aux aspects essentiels de la théorie des démonstrations en logique mathématique et à ses ramifications contemporaines. La distinction établie par Kreisel entre théorie générale des démonstrations et théorie reductive des démonstrations est reprise et l'accent est mis sur la théorie reductive ou les sous-systèmes de l'analyse classique, en particulier l'induction transfinie. Le texte comporte une critique de la justification de l'induction transfinie de Takeuti et se termine par une liste des développements contemporains les plus significatifs en (...) théorie de la preuve.This article deals with the essential aspects and the contemporary developments of proof theory in mathematical logic. The distinction between general proof theory and reductive proof theory borrowed from Kreisel is used as the main axis of the paper, but the emphasis is on the reductive theory of classical analysis and transfinite induction. A foundational critique of Takeuti's justification of transfinite induction is offered and details on the most significant contemporary developments of proof theory close the article. (shrink)

La science des nombres infinis, introduite par Cantor, semble être en conflit direct avec la philosophie, qui pose que le nombre infini est contradictoire.Nous examinerons les objections contre le nombre transfini. Nous arriverons au résultat, que le nombre infini, conçu comme symbole, satisfaisant à un certain nombre de postulats, n’est pas contradictoire, tandis que le nombre infini, déterminé, actuel et entier, a bien des propriétés contradictoires.Les objections contre le nombre infini reviennent à ce qu’on suppose tacitement, que le nombre infini (...) doit avoir les propriétés des nombres finis ; et ensuite, on démontre facilement que le nombre infini est contradictoire.Il n’est pas permis d’appliquer la logique classique, qui est une résultante des propriétés des ensembles finis, aux nombres infinis, ce qui serait contraire à une logique plus générale, qui prescrit que l’application de certaines lois de la pensée ne doit pas excéder le domaine propre de ccs lois. (shrink)

Résumé — À la suite d’Aristote, le maître parisien Pierre Auriol prit le parti de nier la possibilité rationnelle d’ensembles transfinis et, comme Descartes, n’admit qu’un seul infini vrai, ou actuel : Dieu. Nous examinerons la façon dont Pierre invoque l’infinité divine dans trois contextes différents afin de cerner sa motivation profonde, qui fut, selon nous, de faire valoir la saturation, et donc l’insurpassabilité, de la promesse de salut qui régit la théologie chrétienne.

A la fin du XVIIIe siècle, Emmanuel Kant pouvait encore voir dans les mathématiques le modèle même des jugements synthétiques a priori, c'est-à-dire dotés d'un contenu intuitif propre quoique non dérivé de l'expérience sensible. Des géométries non-euclidiennes à la théorie des transfinis de Cantor, les mathématiques du XIXe siècle vont cependant faire triompher des systèmes mathématiques résolument déductifs et non plus intuitifs. Sur fond d'interrogations quant à la légitimité de ces développements récents, interrogations renforcées par la découverte de paradoxes, (...) d'âpres débats vont alors opposer différentes écoles quant aux méthodes de preuve acceptables ainsi que quant à ce qui constitue le fondement même du savoir mathématique. Logicisme, formalisme et intuitionnisme ; ce sont, à l'époque, pas moins de trois conceptions des mathématiques (et trois programmes pour les mathématiques) qui s'affrontent, conceptions auxquelles il faut ajouter le psychologisme, qui se nourrit de l'essor des sciences humaines et de leurs prétentions épistémologiques. En collant au plus près des textes des principaux protagonistes, l'ouvrage présente de manière tout à la fois synthétique et précise les différentes positions en présence, en soulignant autant que possible leurs divergences, mais en montrant aussi les variations et inflexions qui ont marqué leur développement durant la période 1870-1930. (shrink)