En el marco de la filosofía de las matemáticas contemporáneas, Hellman y Awodey sostienen un debate acerca del rol de la Teoría de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) y la Teoría de Categorías (TCat) en la perspectiva de una buena fundamentación estructuralista para las matemáticas. Según Hellman, ni ZF ni TCat constituyen un buen marco fundacional para las matemáticas; sin embargo, su punto central en este debate es que TCat no logra una autonomía, en sentido fuerte, respecto a ZF, y, además, (...) sostiene que la tesis de Awodey, favorable a TCat, es inevitablemente una tesis fundacionalista. Desde la otra orilla, Awodey sostiene que la noción categórica de estructura no es fundacional, pero sí constituye la mejor opción para interpretar las matemáticas de manera integral y articulada. De esta manera, pone en cuestión el ideal fundacionalista conjuntista. El objetivo del presente artículo es poner de relieve los aspectos filosóficos centrales de esta polémica, fijar algunas posiciones en relación con la misma y mostrar algunas consecuencias relevantes para la filosofía de las matemáticas. (shrink)

Alan Turing es conocido sobre todo por sus contribuciones a las ciencias de la computación y a la criptografía, pero el impacto de su trabajo en la teoría general de las funciones computables (teoría de la recursión) y en los fundamentos de la matemática es de igual importancia. En este artículo damos una breve introducción a algunas de las ideas y problemas matemáticos surgidos de la obra de Turing en estas áreas, como el análisis de la estructura de (...) los grados de Turing y el desarrollo de las lógicas ordinales. (shrink)

El objetivo del presente artículo es someter a escrutinio la afirmación de Hintikka según la cual la verdadera lógica elemental no es la clásica sino la lógica IF y, en consecuencia, el marco en que ordinariamente son pensadas las relaciones entre lógica y matemáticas es por completo inadecuado. Pa..

This volume of Metatheoria includes translations into Spanish of the three famous papers on the schools in foundations of mathematics, logicism, intuitionism and formalism, presented at the Königsberg’s Symposium on Foundations of Mathematics in September 1930 and finally published in the journal Erkenntnis in 1931. The three papers constituted a milestone in the Philosophy of Mathematics of the last century. In this introduction to the translations, the editors of the volume outline the historical context in which the original papers were (...) conceived and they include some details concerning their original publication. They also stress the decisive role played by the papers in the philosophy of mathematics in the last century. A summary of them is provided and the underlying ideas of the Vienna Circle on the nature of mathematics and the impact of Gödel theorems in the foundations programs are discussed. Moreover, they briefly introduce the original contributions to the volume that follow the translations. (shrink)

En este trabajo matemático-filosófico se estudian cuatro tópicos de la Lógica matemática: El método de construcción de modelos llamado Ultraproductos, la Propiedad de Interpolación de Craig, las Álgebras booleanas y los Órdenes parciales separativos. El objetivo principal del mismo es analizar la importancia que tienen dichos tópicos para el estudio de los fundamentos de la matemática, desde el punto de vista del platonismo matemático. Para cumplir con tal objetivo se trabajará en el ámbito de la Matemática, (...) de la Metamatemática y de la Filosofía de la matemática. El desarrollo de la investigación arrojó como resultado que tales tópicos son muy importantes para el estudio de los fundamentos de la matemática, desde el punto de vista del platonismo matemático, y en el trabajo se explica detalladamente con abundantes ejemplos el porqué (al final de cada sección y al final del mismo). (shrink)

This is the Spanish translation, by María Gabriela Fulugonio, of Arend Heyting’s classical text “Die logizistische Grundlegung der Mathematik”, which was originally presented at the Königsberg’s Symposium on Philosophy of Mathematics in 1930, and finally published in Erkenntnis in 1931.

Ofrecemos un repaso a las principales contribuciones de Kurt Gödel en el campo de Lógica y fundamentos de las matemáticas, analizando su impacto, que bien puede llamarse revolucionario. La pretensión es hacer comprensible la tendencia y orientación metodológica de los trabajos de Gödel, y considerar en algún detalle sus repercusiones filosóficas. Así, se ofrece una perspectiva de cómo cambió la filosofía de las matemáticas entre las fechas de nacimiento y muerte del genial lógico matemático.

This is the Spanish translation, by Valeria Sol Valiño, of Rudolf Carnap’s classical text “Die logizistische Grundlegung der Mathematik”, which was originally presented at the Königsberg’s Symposium on Philosophy of Mathematics in 1930, and finally published in Erkenntnis in 1931.

Mi objetivo es discutir las principales dificultades que Frank P. Ramsey encontró en Principia Mathematica y la solución que, vía el Tractatus Logico-Philosophicus, propuso al respecto. Sostengo que las principales dificultades que Ramsey encontró en Principia Mathematica están, todas, relacionadas con que Russell y Whitehead desatendieron la forma lógica de las proposiciones matemáticas, las cuales, según Ramsey, deben ser tautológicas.

En 1931 Gödel publica su Teorema de incompletud. Resultado clave en Lógica matemática, se interpretó como una limitación de los formalismos, un fracaso del Programa de Hilbert. Sin embargo, el método de aritmetización, la recursividad han propiciado una visión positiva y la creación de nuevas teorias - Teorías de la Complejidad, de Información algorítmica... -. Con ellas, nuevas demostraciones del teorema y, consecuentes, nuevas discusiones en Filosofía de la Matemática. En especial, desde la Teoría de la Complejidad. Además (...) de incompleta, la Matemática se ve por algunos como aleatoria y experimental. En este ensayo se pretende explicitar los supuestos de estas interpretaciones. Discusión que conduce, en principio, a su rechazo, dejando abierta la problemática sobre el aspecto epistemológico dei razonamiento matemático. (shrink)

De acuerdo con la así llamada concepción platonista de la naturaleza de las entidades matemáticas, las afirmaciones matemáticas son análogas a las afirmaciones acerca de objetos físicos reales y sus relaciones, con la diferencia decisiva de que las entidades matemáticas no son ni físicas ni espacio temporalmente individuales, y, por tanto, no son percibidas sensorialmente. El platonismo matemático es, por lo tanto, de la misma índole que el platonismo en general, el cual postula la tesis de un mundo ideal de (...) entidades –eídē– que a la vez están separadas (chōristón) y son el fundamento cognitivo y ontológico del mundo real de cosas físicas que poseen propiedades espacio-temporales. Mientras que la no-identidad entre la concepción platonista de las entidades matemáticas y el platonismo del Platón “histórico” es frecuentemente reconocida tácita o explícitamente tanto por sus defensores como por sus críticos, su conexión conla crítica del Aristóteles “histórico” a la filosofía de Platón frecuentemente no es reconocida. Este artículo llama la atención sobre la conexión de Aristóteles con el así llamado platonismo tradicionalmente concebido y reconstruye un aspecto crucial de su crítica a la tesis originaria del chōrismós platónico que se pierde de vista a menos que se reconozca el objetivo verdadero de su crítica, la descripción platónica igualmente originaria de los números eidéticos.---“The Source of Platonism in the Philosophy of Mathematics Revisited: Aristotle’s Critique of Eidetic Numbers”. According to the so-called Platonistic conception of the nature of mathematical entities, mathematical statements are analogous to statements about real physical objects and their relations, with the one decisive difference that mathematical entities are neither physical nor individuated spatio-temporally and, thus, not perceived sensuously. Mathematical Platonism is therefore of a piece with Platonism in general, which posits the thesis of an ideal world of entities –eídē– that are both separate (chōristón) from and the cognitive and ontological foundations of the real world of physical things possessing spatio-temporal properties. While the non-identity of the Platonistic conception of mathematical entities with the Platonism of the “historical” Plato is usually either tacitly or explicitly acknowledged by its defenders and critics alike, its connection with the “historical” Aristotle’s critique of Plato’s philosophy usually goes unacknowledged. This paper both calls attention to Aristotle’s connection with the so-called Platonism traditionally conceived and reconstructs a crucial aspect of his critique of the original Platonic chōrismós thesis, an aspect that is missed unless the true target of this critique, the equally original Platonic account of eidetic numbers, is recognized. (shrink)

La historia de la matemática muestra como la intuición matemática ha estado presente en la invención y desarrollo de conceptos, teorías y procedimientos matemáticos. Así mismo, ha permeado el debate filosófico, los fundamentos de la matemática y los discursos educativos; otorgándole vigencia al estudio de este tema. En el presente artículo, se exponen los argumentos bajo los cuales es posible sustentar que la intuición es un proceso, que toma ideas que se presentan, inicialmente de manera “desordenada”, (...) y que gracias al contexto y los conocimientos previos del individuo las centran en una idea “fija” que será incorporada a la matemática por la lógica y la formalización. (shrink)

Our aim in this paper is to propose an ontology for numbers that is compatible with an epistemology that does not invoke mysterious faculties. On the basis of my explanatory system, we find objects capable of being classified: horses, colors, etc. Once grouped, they can be reclassified in units, pairs, and so on. When they use expressions like “three horses”, in fact, I believe that what they mean is “a threesome of horses”. I call nonmathematical numbers those reclassification, and I (...) suggest that arithmetical numbers could be regarded as pictures of nonmathematical numbers, that are closely connected with empirical facts. (shrink)

El objetivo de este artículo es presentar dos tópicos de Lógica matemática y sus fundamentos: El primer tópico es una actualización de la demostración de Alonzo Church del Teorema de completitud de Gödel para la Lógica de primer orden, la cual aparece en su texto "Introduction to Mathematical Logic" (1956) y usa el procedimientos efectivos de Forma normal prenexa y Forma normal de Skolem; y el segundo tópico es una demostración de que la propiedad de partición (tipo Ramsey) (...) del espacio topológico de Baire llamada "Propiedad de partición polarizada" es falsa en el Modelo Básico de Cohen. (shrink)

Con este artículo pretendemos esbozar los fundamentos onto-lógicos esenciales de la propuesta metafísica de Alain Badiou; así como identificar los nexos dialécticos imprescindibles para la elaboración de lo que podemos considerar una metafísica contemporánea de lo múltiple infinito –frente a las clásicas metafísicas dogmáticas de lo Uno y las filosofías de la finitud– que incorpora de un modo dialécticamente inclusivo la matemática de la teoría de conjuntos, en _L’être et l’événement_, y la lógica matematizada de la teoría de (...) categorías, en _Logiques des mondes_. Sin adentrarnos en los pormenores de los conceptos vehiculares necesarios para pensar los procedimientos de verdad de la propuesta de Badiou, veremos cómo las relaciones dialécticas que se establecen a nivel onto-lógico en el interior de esta nueva metafísica concentran toda la historicidad del pensamiento de las correlaciones clásicas ser/aparecer, o ser/ser-ahí, univocidad/equivocidad, objeto/relación, extrínseco/intrínseco, lógica binaria/lógica trascendental y matemática/lógica en el pensamiento filosófico de la relación dialéctica contemporánea entre la teoría de conjuntos y la teoría de categorías. (shrink)

The intentionality is a key concept in Husserl’s phenomenology, by means of which comes out to the light the proverbial tension between the modern tradition and the ‘thing self’. Conscious of the risk of reexaminating a topic that it has already been object of innumerables interpretations, the au..

Los intereses del ingeniero y filósofo chileno Manuel Atria Ramírez recorren una variedad de temas y disciplinas, pero es en la filosofía de las matemáticas y de la física donde se centra una porción importante de su obra publicada. Tras una primera fase de juventud, de manifiesta impronta tomista, su pensamiento de madurez acusa el influjo de las grandes escuelas epistemológicas que prosperan durante la primera mitad del siglo XX. Además de ilustrar la recepción que se le daba por aquellos (...) años en el medio académico latinoamericano a las nuevas tendencias filosóficas europeas, pensamos que el conciso estilo expositivo del autor y su comprensión profunda de la físico-matemática y de su historia, tienen el mérito de plantear con frescura y originalidad la pregunta referida al fundamento último de las matemáticas, y de su vinculación con la realidad. En este artículo presentamos y analizamos las principales directrices de la propuesta epistemológica de Atria, e identificamos algunos puntos abiertos a investigaciones ulteriores. (shrink)

RESUMEN Durante buena parte del siglo XX, uno de los grandes debates en el ámbito de los estudios sobre la doctrina del conocimiento según Tomás de Aquino fue aquel que rodeó la cuestión del proceso abstractivo. Particularmente la atención se volcó sobre el rol de este último como causa de la determinación de los objetos de ciencia especulativa. Dejando de lado las particularidades de esta discusión, este trabajo pretende enfocarse en el análisis particular de un texto en el que la (...) abstracción -aun figurando como el fundamento de la distinción de los objetos que estudia la matemática- no parece designar un tipo de operación intelectual; por el contrario, la abstracción figura como una propiedad de las propias esencias o formas matemáticas. En lo sucesivo se esbozará una interpretación de dicho texto y se enumerarán algunas objeciones contra dicha interpretación a las cuales se intentará dar respuesta. Las consecuencias de este hallazgo podrían conllevar la revisión de algunas ideas que se han vuelto comunes en la epistemología tomista. ABSTRACT During the 20th century, one of the most debated issues regarding Aquinas's theory of knowledge was the process of abstraction. Attention was mainly focused on the role of abstraction in the definition of objects of speculative sciences. Leaving aside the particular features of this debate, this paper aims to focus on the analysis of a very peculiar text in which abstraction -still considered as the cause of the distinction of mathematical objects- does not seem to designate some sort of intellectual operation. On the contrary, abstraction there appears as a property of the very mathematical essences or forms. The consequences of this could lead to the revision of some established ideas in Thomistic Epistemology. (shrink)

El presente trabajo propone una introducción a la doctrina de la ciencia matemática de Francisco Suárez según sus Disputaciones Metafísicas I. El contexto de la investigación aborda la noción de objeto adecuado, una teoría de la abstracción y el orden de las ciencias especulativas en general. Por ello, para mejor comprender las ciencias matemáticas, es necesario observar su relación con la metafísica, delimitando no solo su fundamento, sino también su horizonte especulativo.

En la formación inicial docente, el estudio de la epistemología constituye una pieza fundamental para que los futuros profesores puedan filosofar sobre la realidad de los diversos contextos educativos y se pregunten cómo mejorarla desde los principios que rigen la investigación científica. De este modo, gracias al sustento epistemológico, los estudiantes de pedagogía pueden formarse como docentes investigadores capaces de analizar los cambios sociales propuestos por las múltiples realidades y conocer cómo se construye el conocimiento científico de una especialidad dada. (...) La finalidad de este trabajo, es presentar una reflexión filosófica-epistemológica sobre la imperiosa necesidad de desarrollar el conocimiento epistemológico en la formación inicial del profesorado de matemática e historia, considerando los fundamentos disciplinares, pedagógicos y cognitivos de dichas áreas. (shrink)

El 75 aniversario del artículo seminal de Turing y el centenario de su nacimiento ocurren en 2011 y 2012, respectivamente. Es natural revisar y valorar las contribuciones que hizo Turing en campos muy diversos a la luz de los desarrollos que sus pensamientos han producido en muchas comunidades científicas. Aquí, la idea principal es discutir como el trabajo de Turing nos permite cambiar nuestra visión sobre los fundamentos de las Matemáticas, de forma similar a como la mecánica cuántica cambió (...) nuestra concepción de la Física. Nociones básicas como compatibilidad y universalidad se discuten en un contexto amplio, haciendo énfasis especial en como a la noción de complejidad se le puede dar un significado preciso después de Turing, es decir, no solo cualitativo sino cuantitativo. Al trabajo de Turing se le da una perspectiva histórica en relación a algunos de sus precursores, contemporáneos y matemáticos que tomaron y llevaron sus ideas aún más allá. (shrink)

[ES] El logicismo de Frege o, en términos más generales, su esfuerzo por construir un fundamento de razonamiento deductivo para las matemáticas fue motivado por el deseo de combatir el empirismo radical que empezaba a dominar la discusión científica en las tierras de habla alemana después de la muerte de Hegel. El objetivo similar de Russell unas décadas después, en cambio, se debe en su origen preponderantemente al deseo de superar el neohegelianismo de Bradley. El joven Wittgenstein formuló a partir (...) de lo que aprendió de ambos el sistema del Tractatus, rechazando algunos aspectos claves de uno y otro. Hay, por consiguiente, incompatibilidades importantes entre las tres propuestas de solución para los problemas relacionados con el concepto de la verdad y de la relación que debemos suponer que existe entre mundo, lenguaje y pensamiento. Si sus reflexiones se comparan con el manejo de preguntas aproximadamente equivalentes hoy en día, en particular a raíz del concepto semántico de la verdad que debemos a Tarski, nos podemos dar cuenta que hemos logrado una enorme flexibilidad en el manejo de los lenguajes simbólicos; a este dominio técnico de las herramientas que nos dio la formalización de la lógica simbólica debemos, entre otros avances, el Internet y los teléfonos inteligentes. En cambio, se perdió de vista la profundidad filosófica que estuvo en su origen, y, se podría decir, algo de lo filosófico de la filosofía. El brillo intenso de las tecnologías nuevas junto con la sensación de que tenemos a nuestra disposición una jerarquía infinita de lenguajes o metalenguajes, que nos permiten manejar cualquier problema heredado del nivel anterior, hacen que nos parezca superflua la ocupación con cuestiones más propiamente filosóficas como las entendían los primeros proponentes de la filosofía analítica. Es en parte a esta pérdida de sentido filosófico del quehacer del filósofo que se deben otros fenómenos que hablan de la trivialización de la filosofía: someter esta actividad en el marco académico a una medición cuantitativa que produce un diluvio de trabajos perfectamente inútiles, o la confusión de la filosofía con la elaboración de reglas operativas para hospitales. [EN] Frege’s logicism or, more generally, his efforts to construct a foundation for mathematics based on deductive reasoning was motivated by his wish to fight the radical empiricism that began to dominate scientific argument in German speaking countries after Hegel’s death. Russell’s similar purpose a few decades later, on the other hand, was originally due mainly to their wish to overcome Bradley’s neo-Hegelianism. Young Wittgenstein forged the system of the Tractatus drawing from his knowledge of both, refuting some key aspects of one or other. There are therefore important incompatibilities between the three proposed solutions for the problems related to the concept of truth and to the relation we must suppose exists between world, language and thought. When we compare their thoughts to today’s ways of handling questions which are approximately equivalent, particularly in the wake of the semantic concept of truth we owe to Tarksi, we may become aware that we have certainly gained enormous flexibility in the handling of symbolic languages; the Internet and intelligent telephones, among other signs of progress would have been impossible without this technical mastery of tools we obtained thanks to the formalization of symbolic logic. But, on the other hand, we also lost view of the philosophical depth that stood at its cradle and, it might be said, a bit of what makes philosophy philosophical. The intense sparkle of the new technologies together with the impression that we have an infinite hierarchy of languages or metalanguages at our disposal which allow us to handle any problem inherited from the previous level, may give us the impression that questions related to more deeply philosophical problems, such as the first proponents of analytical philosophy tried to deal with, are idle. Other phenomena which bear witness to the trivialization of philosophy are in part due to this loss of philosophical meaning of the business of philosophy: subduing this activity within the academic framework to methods of quantification which result in a deluge of perfectly useless publications, or the confusion of philosophy with the elaboration of operating rules for hospitals. (shrink)

En la Ciencia de la lógica, Hegel analiza las dos antinomias matemáticas kantianas, realiza una crítica interna de sus pruebas y concluye que son meras peticiones de principio. A pesar de ello, reconoce la legitimidad del descubrimiento kantiano. En este artículo se analiza cómo se integran y complementan esas dos miradas, para mostrar cómo se apropia Hegel de la antinomia de la razón pura para reconducirla a su fundamento conceptual, y despojarla así de todo contenido empírico, para lo cual tendrá (...) que desactivarla mediante una crítica a la formulación kantiana. (shrink)

Desde una perspectiva compleja aparecen claros cuestionamientos a los fundamentos y los razonamientos de la Economía Neoclásica (que es lo que se enseña en Chile cuando se enseña Economía), por ejemplo, la noción de emergencia: “el todo es más y menos que la suma de la partes” (Morin, 1981), la sociedad no es sólo un agregado de individuos. El conocimiento es incompleto: no hay información absoluta. Los contextos son determinantes para la comprensión de lo estudiado. Las esferas del conocimiento (...) no están aisladas, surge la necesidad de la transdisciplinariedad. Desde el teorema de la incompletitud de Gödel las demostraciones matemáticas no aseguran la veracidad de los resultados ni la ausencia de subjetividad (además de haber comportamientos, como el humano, que no son reductibles a la lógica matemática). Es necesario replantearse las comprensiones de la Economía y su enseñanza. Diseñar nuevas cátedras de economía que incluyan otros contenidos, metodologías y reflexiones epistemológicas, ya que, dada la complejidad de los tiempos que afrontamos, y la importancia de las decisiones que se toman en nombre de la Economía, no podemos contar con profesionales que cuenten con una visión reduccionista de los fenómenos económicos. (shrink)

En este artículo se traza una distinción clara y precisa entre geometría pura y geometría aplicada dentro del marco de las reflexiones sobre los fundamentos de la geometría promovidas por la aparición de geometrías no-euclidianas y en el contexto de las discusiones mantenidas por los empiristas lógicos sobre la estructura general de las teorías empíricas. De manera más particular, se defiende, tal y como proponen los empiristas lógicos, que una geometría pura es un sistema formal que no nos dice (...) nada sobre la realidad física, mientras que una geometría aplicada es una teoría empírica, una teoría física (una teoría del espacio) que resulta de dotar de significado a una geometría matemática. Para sostener esta tesis se recurre, en parte, a ciertas ideas expresadas por Einstein sobre la teoría general de la relatividad. Por último, si bien parece que esta imagen de la estructura de una geometría física es relativamente adecuada, se insiste en la tesis de que el error principal de los empiristas lógicos estaría entonces en pretender hacer de ella el carácter predominante de la estructura de las teorías científicas en general. (shrink)

A través de este escrito se pretende dar a conocer algunos aportes de lafundamentación de la ciencia de la mecánica en el siglo XVIII adelantados porLeohnard Euler y ponerlos en relación con algunas de las respectivaspropuestas de Jean le Rond d’Alelmbert. Se resalta, en particular, que laspreocupaciones de estos dos pensadores no se limitan sólo a una intención dematematización de la ciencia de la mecánica. También existe en ellos la intenciónexplícita de clarificación de la mecánica a través de la reorganizaciónconceptual (...) de las nociones primeras y de la identificación de los principios enlos que debe fundamentarse esta ciencia, ambas intenciones soportadas enpresupuestos epistemológicos sobre la certeza y la validez de nuestroconocimiento. (shrink)

En este ensayo presento un análisis comparativo entre los diversos procedimientos creados, respectivamente, por los matemáticos babilonios y Diofanto de Alejandría para resolver ecuaciones de segundo grado. Observaremos cómo los primeros recurrieron a la composición de diagramas mientras Diofanto aplicó un algoritmo abstracto que no consiguió generalizar.In this paper I present a comparative analysis among the diverse procedures invented respectively by the Babylonian mathematicians and Diophantus of Alexandria to solve quadratic equations. We will observe how the first ones appealed to (...) the composition of diagrams while Diophantus applied an abstract algorithm that he was not able to generalize. (shrink)

O autor analisa a crítica que fez Wittgenstein aos fundamentos de Matemática na dupla fase do seu pensamento lógico e filosófico. Começa por situá-lo em relação às 3 Escolas que discutiam sobre a fundamentação lógica da matemática: o logicismo, o intuicionismo e o formalismo. Na 1.a fase do Tractatus, vê-se que Wittgenstein é logicista. Mas é original porque não deriva a aritmética do cálculo de classes, como fazia Russell, mas do cálculo proposicional, que generaliza. Considera a (...) class='Hi'>matemática como um simples "método lógico". Por isso define o Número como "expoente duma função proposicional"! Mas neste caso trata-se implicitamente, duma nova extensão analógica de princípios e conceitos da aritmética à lógica pura. Por exemplo: noções de número, operação, exponenciação, etc. E se Wittgenstein quer criar, por analogia, números lógicos (símbolos puros), então tem de fazer uma interpretação semântica para passar da lógica formal pura para a aritmética! Só admite o infinito potencial na matemática. Infere-se, pois, que na l.a fase do Tractatus, Wittgenstein, é nominalista e finista. Na 2a fase das Notas (PB ou Remarks) que são manuscritos e fotocópias, (entre 1927 e 1944) Wittgenstein foi variando de pensamento. Agora julga que a matemática se funda a si mesma, como autónoma de lógica pura. Descobre que para além dos "Símbolos" há relações para os "significados" e "usos". E a matemática pode ser teórica e aplicada aos cálculos das ciências. Mas pela sua crítica intuicionista rejeita o valor da teoria dos números irracionais de Dedekind, do teorema e processo da diagonal com que Cantor prova a teoria dos números transfinitos... Wittgenstein aborda ainda os célebres teoremas de Fermat e de Gödel, quando analisa as proposições indecidíveis dos Principia mathematica (de Russell-Whitehead). O autor mostra, no artigo, que Wittgenstein não tem razão na sua crítica pouco profunda ao conceito de número e suas generalizações. .. Na 2.a fase ele continua a ser finitista, mas agora é conceptualista. /// L'auteur analyse la critique que fit Wittgenstein aux fondements des Mathématiques dans la double phase de sa pensée logique et philosophique. Il commence par situer cette pensée en relation avec les trois écoles qui discutaient sur la fondation logique des mathématiques : le logicisme, l'intuitionisme et le formalisme. Dans la première phase du Tractatus, on voit que Wittgenstein est lo-giciste. Mais sa position est originale, parece qu'il ne dérive pas les mathématiques du calcul des classes, comme faisait Russell, mais du calcul propo-sitionnel, qu'il généralise. Il considère les mathématiques comme une simple "méthode logique". C'est pourquoi il définit le Nombre comme "exposant d'une fonction propositionnelle". Mais en ce cas il s'agit implicitement d'une nouvelle extension analogique de principes et de concepts de l'arithmétique à la logique pure. Par exemple : les notions de nombre, d'opération, d'opération exponentionelle etc. Et si Wittgenstein veut créer, par analogie, des nombres logiques (symboles pures), il doit alors faire une interprétation sémantique pour passer de la logique formelle pure aux mathématiques! Il n'admet que l'infini potentiel en mathématiques. Il s'ensuit alors que dans la première phase du Tractatus Wittgenstein est nominaliste et finitiste. Dans la seconde phase des Notes Philosophische Bemerkungen ou Remarks1 qui sont des manuscrits et photocopies (entre 1927 et 1944), Wittgenstein diversifia sa pensée. Il pense alors que les mathématiques se fondent elles-mêmes, de façon autonome par rapport à la logique pure. Il découvre que au-delà des "Symboles" il y a des relations pour les "sens" et les "usages". Et les mathématiques peuvent être théoriques et appliquées aux calculs des sciences. Mais par sa critique intutiuniste, il rejette la valeur de la théorie des nombres irrationnels de Dedekind, du théorème et du procédé de la diagonale par lesquels Cantor prouve la théorie des nombres transfinis. Wittgenstein aborde encore les célèbres théorèmes de Fermât et de Gô-del quand il analyse les propositions indécidables des Principia Mathematica (de Russell – Whitehead). L'auteur montre dans l'article que Wittgenstein n'a pas raison dans sa critique peu profonde au concept de nombre et ses généralisations... Dans la seconde phase, il continue à être finitiste, mais à présent il est conceptualiste. /// The author examines Wittgenstein's criticism of the foundations of mathematics in the two phases of his logical and philosophical thought. He begins by situating it in relation to the three schools which discussed the logical foundations of mathematics: logicism, intuicionism, and formalism. In the first phase of the Tractatus, we can see Wittgenstein as a logicist. His originality resides in his not deriving arithmetic from the calculus of classes, as did Russell, but from propositional calculus that he generalizes. Wittgenstein considers mathemathics as a simple "logical method". This is why he defines "number" as a "exponent of a propositional function". But in this case it is implicitly a matter of a new analogical extension of arithmetical principles and concepts to pure logic. For example, the notions of number, operation, and exponentiation, etc And if Wittgensteinwishes to create by analogy logical numbers (pure symbols), then he has to effectuate a semantical interpretation to pass from pure formal logic to arithmetic! He only allows potencial infinity in mathematics. One can infer that in the Tractatus phase, Wittgenstein is nominalist and finitist. In the second phase of Remarks, manuscripts and copies, dating between 1927 and 1944, Wittgenstein changed his thinking. Now he believes that mathematics founds itself independently of pure logic. He discovers beyond "symbols" there are relations for "meanings" and "uses". And mathematics can be theoretical and applicable to the calculus of sciences. But by his intuitional criticism he can reject the value of the theory of irracional numbers of Dedekind, of the theorem and the process of the diagonal, with wich Cantor proves the theory of transfinit numbers... Wittgenstein refers still the famous theorems of Fermat and Godel when he examines the indecidable propositions of the Prinvipia Mathemativa (of Russell-Whitehead). In this article the author shows that Wittgenstein is not correct in his not too profound criticism of the concept of numbers and its generalizations. In the second phase, he continues to be finitist but now also conceptualist. (shrink)

The aim of this paper is to show the impact of Russell’s paradox in Frege’s mathemathical and philosophical system. First, it shows that the development of the Begriffsschrift was enough to give a structural definition of natural numbers, but not enough to accomplish Frege’s program. For this it w..