A comienzos deI siglo XVIII se origina una polémica en la Academia de Ciencias de París a propósito de la fundamentación deI calculo infinitesimal. Con motivo de la misma Leibniz presentará los infinitesimales corno ficciones útiles, noción que agrega polémica a la polémica y que habrá que precisar. Leibniz se desmarcará claramente de la idea de infinitesimal mantenida por sus seguidores franceses. Resultado de todo ello es un triunfo en la práctica deI cálculo infinitesimal y un alto en cuanto a (...) su fundamentación.In the beginning of the XVIII century arises a discussion in the Paris Academy of Sciences about the justification of infinitesimal Calculus. In this line, Leibniz will present infinitesimals as useful fictions, a problematic notion that requires an accurate meaning. Leibniz does not accept the infinitesimal concept of his french followers. The result of the controversy was a triumph for Calculus, but a pause in its justification. (shrink)

En este trabajo trataremos de mostrar que la concepción de la ficcionalidad de las cantidades infinitas e infinitamente pequeñas sostenida por Leibniz al menos desde 1676 está enmarcada en una consideración más amplia, aunque todavía incipiente, acerca de la naturaleza de lo matemático en general, cuya consecuencia es que en la realidad no hay nada que posea, en sentido estricto, las propiedades de los objetos matemáticos. En este sentido, a partir del año señalado, Leibniz desarrolla argumentaciones que tienen la finalidad (...) de probar que lo físico y lo matemático, dentro de lo cual incluimos también las ficciones matemáticas, pertenecen en cada caso a dominios de objetos con propiedades muy distintas. De esta manera, podría decirse que comienza en este período un camino en el pensamiento leibniziano que años más tarde, tras ulteriores reflexiones, desembocará en la distinción entre el ámbito de lo real y el de lo ideal. (shrink)

"Cette étude est à la fois une révision profonde de la théorie kantienne de l'expérience et une histoire du bouleversement qu'a entraîné, pour la physique, la découverte du calcul différentiel. La méthode qu'en dégage Cohen est destinée à fonder une nouvelle critique de la connaissance. C'est en même temps l'un des piliers philosophiques essentiels de l'idéalisme critique propres à l'École de Marbourg, qui débouchera sur la pierre angulaire du système de Cohen, sa "Logique de la connaissance pure". La réflexion sur (...) l'infinitésimal a pour objectif, dans sa partie historique - des Grecs à la fin du XVIIIe siècle -, de montrer, et bien au-delà de la controverse qui a opposé Newton à Leibniz sur la priorité de la découverte, que c'est bien chez ce dernier qu'on trouve un développement véritablement philosophique des conséquences de cette approche nouvelle de la catégorie de 'réalité'. La reconnaissance du rôle de la physique mathématique va donc au-delà de la "révolution copernicienne" effectuée par Kant, pour s'élever à une conception nouvelle de ce qu'est l'objet même de l'expérience scientifique. Contrairement au verdict kantien, la logique ne s'enferme plus dans sa cohérence systématique qui la condamne à ne plus progresser, voire à rester en quelque sorte à la traîne des progrès scientifiques, mais s'ouvre, au contraire, aux développements ultérieurs de la science en s'adaptant sans distorsions à la théorie de la relativité comme aux prodromes de la théorie des quanta. Léon Brunschvicg, dans son ouvrage sur "Les Étapes de la philosophie mathématique", a souvent suivi l'exposé historique de Cohen, et Bertrand Russel avait aussitôt salué ce "remarquable travail" de reconstruction philosophique où la part de l'histoire n'est nullement contingente puisque c'est précisément à l'intégration de l'évolution scientifique au sein de la critique de la connaissance que tend Hermann Cohen.". (shrink)

El objetivo de este trabajo es examinar el concepto leibniziano de ficción matemática, con especial énfasis en la tesis de Leibniz acerca del carácter ficcional de las nociones infinitarias. Se propone en primer lugar, como marco general de la investigación, un conjunto de cinco condiciones que una ficción tiene que cumplir para ser matemáticamente admisible. Sobre la base de las concepciones de Leibniz acerca del conocimiento simbólico, se propone la ficción matemática como la clase de nociones confusas que carecen de (...) denotación a raíz de la imposibilidad de su objeto. Tomando como punto de partida el análisis de la imposibilidad en términos de inconsis tencia, se muestra que Leibniz admite otras formas de imposibilidad, que afectan especialmente a las nociones infinitarias. Proponemos así la imposibilidad como irrepresentabilidad geométrica y la imposibilidad por incompatibilidad con principios arquitectónicos. Así, el resultado de nuestro examen fundamenta la admisión de tres tipos de ficcionalidad matemática, la ficción 1, que se corresponde con la noción inconsistente, la ficción 2 que incluye las nociones geométricamente irrepresentables y la ficción 3, que se aplica a las nociones “arquitectónicamente” imposibles. En conclusión, los conceptos infinitarios, sin ser por sí mismos inconsistentes, corresponden al tipo de ficcion 2 y ficción 3. Finalmente, se concluye que Leibniz está más preocupado por la imposibilidad por incompatibilidad con principios arquitectónicos que por la cuestión de la irrepresentabilidad geométrica. (shrink)

After having reformulated optics, Ibn al-Haytham conceived of an analogous project for astronomy. This has just been revealed by an important book by the mathematician which has never been studied until now. Ibn al-Haytham's reform consists in excluding all cosmology, and in developing a systematic study of a celestial kinematics that has been completely geometrized. In turn, the realization of such a reform demanded innovative research in infinitesimal geometry. In this article, an attempt is made to present this new geometry, (...) as well as the mathematical means invented to elaborate it. (shrink)

El texto analiza los principios fundamentales en torno a los cuales Gabriel Tarde construye su aproximación a la vida social. Esta perspectiva, elaborada hacia fines del siglo XIX, se encuentra notablemente descentrada tanto respecto de los holismos como los individualismos que dominaron las ciencias sociales y las humanidades durante el siglo siguiente. Una de las principales razones de ello es que su punto de partida filosófico no fue Kant, Hegel o Marx, sino Leibniz. Tarde elabora una teoría social (neo) monadológica. (...) Es decir, produce una concepción infinitista de lo social articulada en torno auna ontología y una epistemología de los infinitesimales y sus conceptos asociados. Esto es lo que se propone mostrar el presente trabajo. (shrink)

Review essay: Les mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle. Volume 4: Ibn al-Hatham, méthodes géométriques, transformations ponctuelles, et philosophie des mathématiques (London: Al-Furq¸n Islamic Heritage Foundation, 2002), pp. xiii+1064+vi ¤ 106.71 ISBN 1 87399 260 2.

Dieses historische Buch kann zahlreiche Tippfehler und fehlende Textpassagen aufweisen. Kaufer konnen in der Regel eine kostenlose eingescannte Kopie des originalen Buches vom Verleger herunterladen (ohne Tippfehler). Ohne Indizes. Nicht dargestellt. 1910 edition. Auszug:...endliche als durch sie erzeugt; oder diese in jener involviert und aus ihr sich evolvierend. Der wahre Erzeuger der endlichen Grosse ist nicht die unendlichkleine" Grosse (das Unendlichkleine ware dem Grossenwert nach vielmehr Null), sondern es ist das Gesetz der Grosse (als Veranderlicher), das man sich nun wie (...) in einen Punkt zusammengezogen, d. h. fur den einzelnen Punkt ausgedruckt, oder an einer endlichen Erstreckung sich darstellend denken kann, das aber dem letzten Sachgehalt nach dasselbe ist fur den Punkt und die endliche Erstreckung, wenn es auch in Bezug auf beide verschiedene, im allgemeinen auseinander ableitbare Ausdrucke erhalten muss. Da aber die endliche Grosse uberhaupt von Punkt zu Punkt entstehend (d. h. veranderlich) gedacht wird, so ist insofern der punktuelle, d. h. infinitesimale Ausdruck der fundamentale, aus dem der extensionale gleichsam erst hervorwachst. Die Differenz entsteht eben von der Null an; nicht aus ihr; aus Null wird keine extensive Grosse; wohl aber von der Null, d. h. dem Nichtsein dessen, was werden soll, oder ganz schlicht1) vom Ausgangs wert an; woraus? Aus dem Gesetz; eine andere Antwort ist nicht zu geben und nicht zu verlangen. Durch dies Gesetz aber ist die Grosse als Eines, Identisches, im Unterschied von den sukzessiven Grossenwerten, also in ihrem Gattungsausdruck definiert. i) Vgl. oben S. 122. Fragt man also: wie soll aus der Null gewordenen, verschwundenen" Grosse die endliche Grosse wiederentstehen? so ist zu antworten: die Grosse zwar (yuantitas). (shrink)

Dans un discours prononcé à Zurich vers la fin des années 1940, Hermann Weyl a examiné l'épistémologie dialectique de Ferdinand Gonseth et l'a considérée comme trop strictement limitée aux aspects de changement historique. Son expérience de la philosophie diaclectique post-kantienne, en particulier la dérivation du concept de l'espace et de la matière chez Johann Gottlieb Fichte, avait constitué une base dialectique solide pour ses propres études de 1918 en une géométrie purement infinitésimale et la théorie antérieure d'un champ de matière (...) géométriquement unifié (en prolongement du programme Mie-Hilbert). Bien que Weyl se fût alors éloigné des aspects spéculatifs de la philosophie de sa jeunesse et eût montré, en particulier, moins d'enthousiasme qu'auparavant pour Fichte, il nourrissait encore de nombreux doutes sur la base culturelle de la science mathématique moderne et sur son rôle dans la culture matérielle du modernisme de pointe. Pour Weyl, la « réflexion » philosophique était une nécessité culturelle ; il se tourna alors vers lexistentialisme de Karl Jaspers et de Martin Heidegger pour trouver des raisons plus profondes, dans un mouvement comparable à son orientation vers la philosophie de Fichte après la Première Guerre mondiale. Le débat de la fin des années 1940 peut être compris comme une sorte de supplément postérieur à la Seconde Guerre mondiale par rapport à ses commentaires plus connus sur les mathématiques et les sciences naturelles publiés au milieu des années 1920. (shrink)

Es werden zwei Bedeutungen von „Infinitesimal“ unterschieden und zwei Thesen verteidigt: (1) Leibniz glaubte, das Infinitesimale in einer der beiden Bedeutungen sei nicht nur eine nützliche Erdichtung, sondern es sei sogar notwendig fur die Differentialrechnung; (2) die moderne Nichtstand-Analysis rechtfertigt weder Leibniz's Griinde fur die Einführung des Infinitesimalen noch seinen Gebrauch desselben.

Qu'est que la mathematique? Quel role y joue l'intuition? Sur quels principes repose-t-elle? Les Premiers ecrits de Bolzano proposent une reponse. Ils reunissent les oeuvres philosophiques, logiques et mathematiques les plus representatives de la periode de son activite publique, de 1804 a sa revocation de l'universite en 1819, et sont groupes autour de deux textes fondamentaux: les Contributions a un expose mieux fonde de la mathematique (1810) et la Demonstration purement analytique (1817), completee par des extraits de la Theorie des (...) fonctions. Les Contributions, bien que tributaires en partie de Kant, renouvellent l'heritage leibnizien en soulignant le caractere objectif de la science. Accueillies par Goethe - un petit ouvrage distingue par sa valeur et son esprit - et commentees par Husserl, elles constituent une premiere etude moderne des fondements de la mathematique, dont les notions de demonstration et d'organisation deductive du savoir sont les pivots. En annexe, Bolzano offre une critique penetrante de la philosophie de Kant. La Demonstration purement analytique, un petit classique d'histoire et de philosophie de la mathematique, inaugure avant Cauchy l'arithmetisation de l'analyse infinitesimale. Ces ecrits sont precedes d'une Introduction qui les etudie dans leurs contexte politique, culturel et scientifique. (shrink)

Comment caractériser les méthodes de démonstration mathématique utilisées dans les Principia de Newton? Ni géométrie à l'antique ni véritable «calcul différentiel», le raisonnement s'appuie sur les figures, mais en supposant qu'elles bougent et se déforment. Les situations infinitésimales sont traitées comme stade ultime de configurations finies, grâce à certains procédés de représentation (témoins finis de l'infinitésimal). Le temps intervient sous deux modes différents dans ces procédés. Les exemples sont pris dans les lemmes de la section I (proportions ultimes) et dans (...) la démonstration de la proposition 48-49 du livre I (rectification de l’épicycloïde). (shrink)

Once Apollonius' Conics had been translated from Greek into Arabic, they became a main reference and the principal tool in studying solid problems, algebraic equations of 3rd and 4th degrees, infinitesimal mathematics, etc. Mathematicians of the 9th–10th centuries also studied the conic sections' constructions, as well as their continuous drawing and their drawing by points. Ibrāhīm ibn Sinān, as his grandfather Thābit ibn Qurra, was one of the most active and inventive mathematicians in these fields. Late Hélène Bellosta examined in (...) this article Ibn Sinān's contribution.Une fois les Coniques d'Apollonius traduits en arabe, ces livres sont devenus la référence indispensable et le principal instrument dans l'étude des problèmes solides, des équations algébriques des 3e et 4e degrés, des problèmes des mathématiques infinitésimales, etc. Les mathématiciens des ixe-xe siècles ont également étudié les constructions des sections coniques ainsi que leur tracé par points et leur tracé continu. Ibrāhīm ibn Sinān, comme son grand-père Thābit ibn Qurra, était l'un des mathématiciens les plus actifs et les plus inventifs en ce domaine. Dans cet article, la regrettée Hélène Bellosta a examiné la contribution d'Ibn Sinān.Send article to KindleTo send this article to your Kindle, first ensure [email protected] is added to your Approved Personal Document E-mail List under your Personal Document Settings on the Manage Your Content and Devices page of your Amazon account. Then enter the ‘name’ part of your Kindle email address below. Find out more about sending to your Kindle. Find out more about sending to your Kindle. Note you can select to send to either the @free.kindle.com or @kindle.com variations. ‘@free.kindle.com’ emails are free but can only be sent to your device when it is connected to wi-fi. ‘@kindle.com’ emails can be delivered even when you are not connected to wi-fi, but note that service fees apply. Find out more about the Kindle Personal Document Service.DE L'USAGE DES CONIQUES CHEZ IBRĀHĪM IBN SINĀNVolume 22, Issue 1Hélène Bellosta DOI: https://doi.org/10.1017/S0957423911000129Your Kindle email address Please provide your Kindle [email protected]@kindle.com Available formats PDF Please select a format to send. By using this service, you agree that you will only keep articles for personal use, and will not openly distribute them via Dropbox, Google Drive or other file sharing services. Please confirm that you accept the terms of use. Cancel Send ×Send article to Dropbox To send this article to your Dropbox account, please select one or more formats and confirm that you agree to abide by our usage policies. If this is the first time you use this feature, you will be asked to authorise Cambridge Core to connect with your account. Find out more about sending content to Dropbox. DE L'USAGE DES CONIQUES CHEZ IBRĀHĪM IBN SINĀNVolume 22, Issue 1Hélène Bellosta DOI: https://doi.org/10.1017/S0957423911000129Available formats PDF Please select a format to send. By using this service, you agree that you will only keep articles for personal use, and will not openly distribute them via Dropbox, Google Drive or other file sharing services. Please confirm that you accept the terms of use. Cancel Send ×Send article to Google Drive To send this article to your Google Drive account, please select one or more formats and confirm that you agree to abide by our usage policies. If this is the first time you use this feature, you will be asked to authorise Cambridge Core to connect with your account. Find out more about sending content to Google Drive. DE L'USAGE DES CONIQUES CHEZ IBRĀHĪM IBN SINĀNVolume 22, Issue 1Hélène Bellosta DOI: https://doi.org/10.1017/S0957423911000129Available formats PDF Please select a format to send. By using this service, you agree that you will only keep articles for personal use, and will not openly distribute them via Dropbox, Google Drive or other file sharing services. Please confirm that you accept the terms of use. Cancel Send ×Export citation Request permission. (shrink)

A través de una reconstrucción de la evolución de su pensamiento, en este artículo se estudia la utilización de infinitesimales por parte de Newton. Se distingue entre dos concepciones sucesivas de lo que denominó momento. A la primera de estas entidades la caracterizó como un infinitesimal, pero a la segunda (un indivisible generador de magnitudes finitas, que interviene en su método de las primeras y últimas razones) no la consideró corno tal. Se entiende así su manifestación de rechazo a los (...) infinitesimales, formulada en una segunda etapa, y se ve que las dudas arrojadas por algunos investigadores sobre la veracidad de tal manifestación se deben a una determinada interpretación de esta última concepción de momento. (shrink)

Les architectures molles, sculptées, transparentes, immatérielles prétendent se libérer des contraintes géométriques, comme si la géométrie ne revendiquait que la droite et la forme orthogonale ou le cercle! Certains architectes s'abandonnent aux " hasards " informatiques et construisent des édifices à la géométrie chahutée par un logiciel. Des urbanistes opposent encore le plan radioconcentrique au plan en damier en ce qui concerne l'expansion des villes et, refusant d'imaginer d'autres morphologies, laissent faire la promotion immobilière, les opportunités foncières et le chacun (...) pour soi. La géométrie, dans notre culture marquée par la philosophie grecque, est constitutive et de l'architecture et de l'urbanisme. Elle est mise en débat par le jeu extraordinairement varié des formes et de leurs agencements, aussi bien que par des régulations qui donnent une mesure au monde et suscitent des questionnements quant à ce qui est à la mesure de l'existence. Depuis le simple pas jusqu'aux théories les plus sophistiquées, la géométrie - qui n'a jamais cessé de se complexifier depuis Pythagore ou Euclide jusqu'aux géométries algébrique, infinitésimale et variable - se rappelle à nous. C'est ce rappel qu'il nous faut entendre, comme une invitation à penser aussi bien notre corps que le paysage, aussi bien la maison que la ville et la cité. Cet ouvrage collectif veut questionner géométriquement et philosophiquement l'urbain contemporain et les architectures qu'il provoque. En d'autres termes, il espère saisir à partir de la confrontation entre mathématiciens, géomètres, historiens, architectes, urbanistes, paysagistes et philosophes l'expérience existentielle de l'espace-temps des lieux. (shrink)

A través de una reconstrucción de la evolución de su pensamiento, en este artículo se estudia la utilización de infinitesimales por parte de Newton. Se distingue entre dos concepciones sucesivas de lo que denominó momento. A la primera de estas entidades la caracterizó como un infinitesimal, pero a la segunda (un indivisible generador de magnitudes finitas, que interviene en su método de las primeras y últimas razones) no la consideró como tal. Se entiende así su manifestación de rechazo a los (...) infinitesimales, formulada en una segunda etapa, y se ve que las dudas arrojadas por algunos investigadores sobre la veracidad de tal manifestación se deben a una determinada interpretación de esta última concepción de momento.This paper discusses Newton’s recourse to infinitesimals through the reconstruction of the evolution of his thought. Two successive concepts of what he termed “moment” are told apart. The first of those entities was characterized by him as an infinitesimal, while the second -an indivisible generating finite magnitudes, present in his method of first and last reasons- was not considered such an entity. This move makes understandable his express rejection of infinitesimals in the second stage, and exposes the doubts of some scholars about the sincerity of Newton’s rejection as due to a peculiar interpretation of his last concept of “moment”. (shrink)

En 1676, alors qu'il sejourne encore a Paris, Leibniz entreprend de composer un volumineux traite qui restera sans doute l'un de ses ecrits mathematiques les plus fortement charpentes: La quadrature arithmetique du cercle, de l'ellipse et de l'hyperbole et la trigonometrie sans tables qui en est le corollaire. Ce traite se presente comme un abrege exhaustif de la geometrie infinitesimale, dont Leibniz avait pu esperer qu'elle lui ouvrirait les portes de l'Academie des Sciences. Cependant, contraint de quitter la capitale (...) avant sa publication, il abandonnera derriere lui un ouvrage qui n'allait voir le jour qu'en 1993. Le probleme de la quadrature est pretexte a soulever plusieurs enjeux capitaux tant pour les mathematiques que pour la philosophie. Il permet notamment a Leibniz d'examiner avec une grande precision la question de la methode, des fondements, ainsi que des notions cruciales de rigueur et d'infini, tout en mettant en evidence leurs applications pratiques. Si la presente edition de ce texte foisonnant ne reproduit pas l'integralite des variantes, elle en propose une version corrigee et annotee, qui s'accompagne d'une traduction francaise en regard. (shrink)

L’histoire récente des mathématiques non standard est mise en pers­pective de manière à faire apparaître une modification dans le langage utilisé et dans la pratique de la référentiation des énoncés qui pourrait conduire, si on le souhaitait à rapprocher la langue mathématique d’une langue de communi­cation. La profusion des constructions ensemblistes peut être limitée grâce à un vocabulaire un peu plus riche permettant de « dire l’indétermination », l’indiscernabilité, l’inaccessibilité… quand cela est nécessaire et d’explorer plus finement par le langage (...) mathématique, par une sorte de traduction du langage courant, des concepts sur lesquels le langage des mathématiques convention­nelles est presque muet : concepts de point, de grandeur infinie ou infinitésimale etc…. (shrink)

In his 1676 text De Quadratura Arithmetica, Leibniz distinguished infinita terminata from infinita interminata. The text also deals with the notion, originating with Desargues, of the point of intersection at infinite distance for parallel lines. We examine contrasting interpretations of these notions in the context of Leibniz’s analysis of asymptotes for logarithmic curves and hyperbolas. We point out difficulties that arise due to conflating these notions of infinity. As noted by Rodríguez Hurtado et al., a significant difference exists between the (...) Cartesian model of magnitudes and Leibniz’s search for a qualitative model for studying perspective, including ideal points at infinity. We show how respecting the distinction between these notions enables a consistent interpretation thereof. (shrink)